凌犯视差新法上道光中,钦天监秋官正司廷栋所撰,较旧法加密,附著卷末,以备参考。
求用时
推诸曜之行度,皆以太阳为本;而太阳之实行,又以平行为 。其推步之法,总以每日子正为始,此言子正者,乃为平子正,即太阳平行之点临于子正初刻之位也。今之推步时刻,虽以两子正之实行为比例,而所得者亦皆平行所临之点,则实行所临之点,自有进退之殊。设太阳在最卑后实行大于平行,则太阳所临之点必在平行之东,以时刻而言,乃为未及。若太阳过最高后实行小于平行,则太阳所临之点必在平行之西,以时刻而言,乃为已过。故以应加之均数变时为应减之时差,应减之均数变时为应加之时差,此因太阳有平行实行之别,以生均数时差也。然太阳所行者黄道,时刻所据者赤道,因黄道与赤道斜 ,则同升必有差度。如二分后赤道小于黄道,其差应减,在时刻为未及。二至后赤道大于黄道,其差应加,在时刻为已过。故以正弧三角形法求得黄赤升度差,变为时分,二分后为加,二至后为减,此因经度有黄道赤道之分,以生升度时差也。按本时之 行自行所生之二差,各加减于平时而得用时,由用时方可以推算他数,故 食亦必以推用时为首务,即 月食之第一求也。其法理图说已载于考成前编,讲解最详,其图分而为二,且均数时差图系用小轮。至考成后编求均数改为橢圆法,其法理亦备悉于求均数篇内,然未言及时差。今依太阳实行所临黄道之点,以均数之分取得黄道上平行点,即以平实二点依过二极、二至经圈作距等圈法,引于赤道,可使二差合为一图。其太阳之经度所临之时刻及二时差之加减,皆可按图而稽矣。
如道光十二年壬辰三月初六 癸丑戌正二刻十一分,月与司怪第四星同黄道经度,是为凌犯时刻。本 太阳引数三宫三度五十五分,太阳黄道经度三宫十五度五十三分,求用时。如图甲为北极,乙丙丁戊为赤道,乙甲丁为子午圈,乙为子正,丁为午正,己庚辛壬为黄道,丙甲戊为过二极二至经圈,己为冬至,辛为夏至,庚为 分,壬为秋分。子为太阳实行之点,当赤道于丑,则丑点即太阳实临之用时。卯为太阳平行之点,而当赤道于辰。其卯子之分,即应加之均数一度五十五分四十五秒,试自卯子二点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午、子未二线,即如距等圈,将太阳平行、实行之度皆引于赤道,则庚午必与庚卯等,庚未必与庚子等,其赤道之午未亦必与卯子均数等。变时得七分四十三秒,为赤道午未之分,即均数时差也。次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧,此形有丑直角,有庚角黄赤 角二十三度二十九分,有庚子弧太阳距 分后黄道度十五度五十三分。乃以半径为一率,庚角之馀弦为二率,庚子弧之正切为三率,求得四率为庚丑弧之正切,检表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒,为太阳距 分后赤道度。乃与庚子黄道弧相等之庚未弧相减,得丑未弧一度十五分二十四秒,为应减之黄赤升度差。变时得五分二秒,即升度时差也。盖太阳平行卯点,距 分之庚卯弧与庚午弧等,则午点乃为平时,即今之凌犯时刻。而太阳实行子点,距 分之庚子与庚未弧等,则午未为平行与实行之差。如以太阳右旋而言之,为实行已过平行,然以随天左旋而计之,为实行未及平行,是未点转早于午点,故必减午未均数时差,乃得未点时刻,此太阳在黄道虚映于赤道之时刻也。然子点太阳实当赤道之丑,则丑未为黄道与赤道之差。若以经度东行而言之,为赤道未及黄道,兹以时刻西行而计之,为赤道已过黄道,是丑点复迟于未点,故必加丑未升度时差,方得丑点时刻,即太阳在黄道实当于赤道之时刻也。其两时差既为一加一减,而所减者又大于应加之分,故先以两时差相减,得丑午时分二分四十一秒,而为时差此因两时差加减异号故相减,若同号则相加,所谓两数通为一数也。又因减数大于加数,故仍从减,若加数大者则从加矣。乃减于午点凌犯时刻戌正二刻十一分,即得丑点戌正二刻八分十九秒,为凌犯用时也。
一率半径
二率庚角馀弦
三率庚子弧正切
四率庚丑弧正切
图形尚无资料
又设凌犯时刻丑正一刻,太阳引数三宫十三度二十九分,黄道实行三宫二十五度三十四分,求用时。如子为太阳实行之点,当赤道于丑,其丑点即所临之用时。卯为太阳平行之点,当赤道于辰,其子卯为应加之均数一度五十二分二十五秒,亦自卯子二点与过极至经圈平行作卯丑、子未二距等圈,其平行卯点映于赤道,恰与实行当赤道之丑点合,是由平行所得之时刻,已合实行实临赤道之用时,遇此可无庸求其时差也。然何以知之,盖两时差之数相等,必减尽无馀,即无时差之总数矣。今试按法求之,既作卯丑、子未二线,其庚丑与庚卯等,庚未与庚子等,则丑未必与卯子均数等,变时得七分三十秒,即赤道上应减之均数时差。次用庚丑子正弧三角形,求得庚丑弧赤道度,与庚子弧黄道度相等之庚未弧相减,得丑未弧,黄赤升度差恰与均数等。变时亦得七分三十秒,即赤道上应加之升度时差。其时差一为加、一为减,而两数相等,乃减尽无馀,既无时差之总数,则其凌犯时刻即为用时可知矣。此法以丑点凌犯时刻减去均数时差,得未点实行虚映之时刻,而复加相等之升度时差,所得用时,固仍在丑点之位,盖因太阳平行距 分后黄道度等于太阳实行距 分后赤道度故也。又如太阳正当本天之最卑或最高,乃无平行实行之差,自无均数时差,止加减升度时差一数。设太阳当本天最卑,又当子正,如太阳在黄道之子点,则庚乙与庚子等,以庚丑子正弧形求得丑乙黄赤升度差。变时减于乙点时刻,即得丑点用时,乃在乙点子正之前也。若太阳当本天最高,又当午正,如太阳在黄道之午点,则壬丁与壬午等,以壬寅午正弧形求得寅丁黄赤升度差,变时减于丁点时刻,即得寅点用时,乃在丁点午正之前也。
图形尚无资料
又如太阳实行正当冬、夏至或正当 、秋分,此四点皆无黄道赤道之差,自无升度时差,止加减均数时差一数。设太阳实行六宫初度为正当夏至,在黄道之辛点,当赤道于戊,而平行卯点,当赤道于辰,自卯点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午距等圈,则午点为凌犯时刻,其戊午与辛卯均数等,变时得均数时差。减于午点而得戊点,即用时也。
图形尚无资料
求 分距午时分、黄平象限宫度及限距地高
推算太 凌犯视差,固依后编求 食三差之法,而其为用不同。盖 食之东西差为求视距弧,而南北差为求视纬,其视距弧、视纬则为求视相距及视行之用。缘太 行于白道,是必以白平象限为准焉。若五星之距恆星、五星之互相距,皆以黄道同经度之时为相距时刻,而较黄纬南北相距之数为其上下之分也。至月距五星、月距恆星,亦皆以黄道经度相同之时为凌犯时刻,不更问白道经度,其于白平象限又何与焉?然其以东西差定视时之进退,以南北差判视纬之大小,以定视距之远近者,其差皆黄道经纬之差,故必以黄平象限之宫度为准。黄平象限者,地平上黄道半周適中之点也。顾黄道与赤道斜 ,地平上赤道半周適中之点,恆当子午圈,而地平上黄道半周適中之点,则时有更易。盖黄极由负黄极圈每 随天左旋,绕赤极一周,如黄极在赤极之南,则冬至当午正,其黄道斜升斜降;若黄极在赤极之北,则夏至当午正,其黄道正升正降,而黄平象限亦皆恰当子午圈;设黄极在赤极之西,则 分当午正,其黄道之势斜倚,出自东北而入西南,黄平象限乃在午正之东;设黄极在赤极之东,则秋分当午正,其黄道出自东南而入西北,黄平象限乃在午正之西。是则黄道之向,随时不同,故以黄道之逐度,推求黄平象限及限距地高以立表。
先设太阳正当 分点,黄道实行为三宫初度,求午正初刻黄平象限宫度及限距地高度分。如图甲乙丙丁为子午圈,甲为天顶,丙丁为地平,乙为北极,乙丙为京师北极出地,高三十九度五十五分,戊己庚为赤道, 于地平之己点,其戊点当午正,为地平上赤道半周適中之点,戊丁为赤道距地高五十度五分,当戊己丁角,辛子壬为负黄极圈,子为黄极,乙子己丑为过极至经圈,戊丑庚为黄道,而 地平于寅点,庚为秋分,丑为冬至,戊为 分,即太阳之所在,临于午正,乃无 分距午之时分。试自黄极子点出弧线过天顶作子甲卯黄道经圈,为本时黄平象限,其辰点为地平上黄道半周適中之点,而在正午之东,即黄平象限宫度也。辰寅卯角为黄道与地平相 之角,而当辰卯弧,即本时限距地高之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧,此形有辰直角,有戊甲弧赤道距天顶,与乙丙北极高度等。以赤道 子午圈之戊直角九十度内减己戊丑角黄赤 角二十三度二十九分,得寅戊丁角六十六度三十一,为黄道 子午圈角;亦名黄道赤经 角。与辰戊甲角为对角,其度等。乃以半径为一率,戊角黄道赤经 角之馀弦为二率,戊甲弧赤道距天顶,亦即太阳距天顶其正切为三率,求得四率,为黄平象限距午之正切,检表得十八度二十六分十四秒,为戊辰弧黄平象限距午正之黄道度。与戊点 分三宫相加,因黄平象限在午东,故加。得辰点三宫十八度二十六分十四秒,即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率,戊角黄道赤经 角之正弦为二率,戊甲弧太阳距天顶之正弦为三率,求得四率,为黄平象限距天顶之正弦,检表得三十六度三分九秒,为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减,得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒,即本时限距地高,而当辰寅卯角之度也。
一率半径
二率戊角馀弦
三率戊甲弧正切
四率戊辰弧正切
一率半径
二率戊角正弦
三率戊甲弧正弦
四率甲辰弧正弦
图形尚无资料
又设太阳正当秋分点,黄道实行为九宫初度,求午正初刻 分距午时分幷黄平象限及限距地高,即以秋分当于正午之戊,则庚未戊为黄道, 地平于寅,庚为 分,未为夏至,子乙未己为过极至经圈,亦自黄极子点出弧★过天顶,作子甲卯弧黄平象限,而地平上黄道適中之辰点,在正午之西。先以 分距午西之庚戊赤道半周变十二时为 分距午之时分,次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧,此形有辰直角,有戊甲赤道距天顶。以戊直角内减己戊未角黄赤 角,得辰戊甲角黄道赤经 角,亦六十六度三十一分,求得戊辰弧黄平象限距午正之黄道度,亦十八度二十六分十四秒。与戊点秋分九宫相减,因黄平象限在午西,故减。得辰点八宫十一度三十三分四十六秒,即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧8888与甲卯象限相减,得辰卯弧,亦为五十三度五十六分五十一秒,即本时限距地高,而当辰寅卯角之度也。
又设太阳距 分后三十度,黄道实行为四宫初度,求午正初刻黄平象限诸数。乃以黄道经度四宫初度当午正如辛点,即太阳之所在,辛壬癸为黄道, 地平于寅。丑为冬至,壬为 分,乙子丑为过极至经圈。仍自黄极子点过天顶甲点作子甲卯弧黄平象限,其黄道適中之辰点,在午正之东。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角,此形有戊直角,有壬角黄赤 角,有壬辛太阳距 分后黄道弧三十度。乃以半径为一率,黄赤 角之馀弦为二率,黄道弧之正切为三率,求得四率,为赤道弧之正切,检表得二十七度五十四分一十秒,为壬戊弧赤道同升度,亦即本时 分距午后赤道度。变时得一时五十一分三十七秒,即本时 分距午时分。又以半径为一率,黄赤 角之正弦为二率,黄道弧之正弦为三率,求得四率,为黄赤距度之正弦,检表得十一度二十九分三十三秒,为辛戊弧太阳距赤道北纬度。又以黄道弧之馀弦为一率,黄赤 角之馀切为二率,半径为三率,求得四率,为黄道 子午圈角之正切,检表得六十九度二十二分五十一秒,为壬辛戊角黄道 子午圈角,即黄道赤经 角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧,此形有辰直角,有辛角,与壬辛戊角为对角,其度等。以甲戊弧赤道距天顶内减辛戊黄赤距度,得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒,为本时太阳距天顶。乃以半径为一率,辛角黄道赤经 角之馀弦为二率,甲辛弧太阳距天顶之正切为三率,求得四率,为黄平象限距午之正切,检表得十度四十七分二十八秒,为辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点四宫初度相加,因黄平象限在午东,故加。得辰点四宫十度四十七分二十八秒,即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率,辛角黄道赤经 角之正弦为二率,甲辛弧太阳距天顶之正弦为三率,求得四率,为黄平象限距天顶之正弦,检表得二十六度二十七分二十秒,为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减,得辰卯弧六十三度三十二分四十秒,为本时限距地高,即当辰寅卯角之度也。
一率半径
二率壬角馀弦
三率壬角弧正切
四率壬戊弧正切
一率半径
二率壬角正弦
三率壬辛弧正弦
四率辛戊弧正弦
一率壬辛弧馀弦
二率壬角馀切
三率半径
四率辛角正切
一率半径
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半径
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弦
又设太阳距秋分前三十度,黄道实行为八宫初度,求午正初刻黄平象限诸数。乃以辛点太阳实行当正午,其申点为秋分,而在午东,壬为 分,未为夏至,子乙未为过极至经圈,亦自黄极子点过天顶,作子甲卯弧本时黄平象限,而在午西。法用辛戊申正弧三角形,此形戊为直角,申角为黄赤 角,申辛黄道弧亦为三十度,求得申戊赤道同升度,亦为二十七度五十四分一十秒。乃与壬申赤道之半周相减,得壬戊弧五宫二度五分五十秒,为本时 分距午后赤道度。变时得十时八分二十三秒,即本时 分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形,辰为直角,其辛角黄道赤经 角及甲辛弧太阳距天顶,皆与前图之度等。求得辛辰弧黄平象限距午正黄道度,亦为十度四十七分二十八秒。与辛点八宫初度相减,因黄平象限在午西,故减。得辰点七宫十九度十二分三十二秒,即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减,得辰卯弧,亦为六十三度三十二分四十秒,即本时限距地高,亦当辰寅卯角之度也。
又设太阳当正午实行距 分前三十度为二宫初度,乃以辛点太阳当午正,则 分壬点在午正之东,申为秋分,丑为冬至,乙子丑为过极至经圈,其子甲卯本时黄平象限亦在午正之东。法用辛戊壬正弧三角形,有戊直角,有壬角黄赤 角,有壬辛黄道弧三十度。求得壬戊赤道弧,亦为二十七度五十四分一十秒。乃与赤道全周相减,得十一宫二度五分五十秒,为本时 分距午后赤道度。变时得二十二时八分二十三秒,即本时 分距午时分也。又求得辛戊弧亦为十一度二十九分三十三秒,为太阳距赤道南纬度,幷求得壬辛戊角亦为六十九度二十二分五十一秒,为本时黄道赤经 角。次用辛辰甲正弧三角形,此形有辰直角,有辛角,以甲戊赤道距天顶与辛戊黄赤距度相加,得甲辛弧太阳距天顶五十一度二十四分三十三秒。乃以半径为一率,辛角之馀弦为二率,甲辛弧之正切为三率,求得四率,为黄平象限距午之正切,检表得二十三度四十八分四十秒,即辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点二宫初度相加,得辰点二宫二十三度四十八分四十秒,即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率,辛角之正弦为二率,甲辛弧之正弦为三率,求得四率,为甲辰弧黄平象限距天顶之正弦,检馀弦表得四十二度五十九分一秒,即卯辰弧本时限距地高之度也。
一率半径
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半径
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弧
又设太阳当午正实行距秋分后三十度为十宫初度,乃以辛点太阳当午正,则申点秋分在午正后,而 分必在午正前,未为夏至,子乙未为过极至经圈,其子甲卯本时黄平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形,此形边角之度与前图之辛戊壬形同,惟申戊弧所变之一时五十一分三十七秒,乃秋分距午后之时分,是以加赤道半周之十二时,得十三时五十一分三十七秒,始为本时 分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形,此形边与角之度亦与前图之辛辰甲形同,惟因辰点在辛点之西,是以十宫初度内减辛辰弧二十三度四十八分四十秒,得九宫六度十一分二十秒,即本时黄平象限之经度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒,亦与前数相同也。由此则逐度皆以距 、秋分前后各相对之度推之,其求午正太阳距天顶之加减,则以纬南、纬北而分。求黄平象限宫度之加减,则以冬至、夏至为断。盖冬至过午西,黄平象限恆在午正之东,夏至过午西,黄平象限恆在午正之西,此加减所由定也。
今设太阳黄道经度三宫十六度四十四分,用时为戌正二刻八分十九秒,求 分距午时分及黄平象限宫度、限距地平高度。如申辛壬癸为黄道, 地平于寅,壬为 分,丑为夏至,申为秋分,子乙丑亥为过二极二至经圈。乃自黄极子点过天顶甲点作子甲卯黄道经圈,其黄道適中之辰点,乃在午正之西。今太阳在 分后之未点,当赤道之午点,自子正计之,即用时之时刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧,此形午为直角,有壬角黄赤 角二十三度二十九分,有壬未弧太阳距 分后黄道度十六度四十四分,求得壬午弧十五度二十四分五十八秒,为太阳距 分后赤道度。变时得一小时一分四十秒,与午点用时相加,得二十一小时三十九分五十九秒,为壬点 分距子正后之时分。内减十二时,得九小时三十九分五十九秒,即壬戊弧本时 分距午时分。次用甲戊辛正弧三角形,因壬戊 分距午后之度已过象限,故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊为直角,有申角黄赤 角,有申戊弧秋分距午前时分所变之赤道度三十五度零十五秒,求得戊辛弧十三度五十九分四十秒,为本时正午之黄赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒,为黄道 子午圈角,即黄道赤经 角。与甲辛辰角为对角,其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒,为秋分距午正前黄道度。与申点秋分九宫相减,得七宫二十二度三十八分一十秒,即辛点正午黄道经度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧,此形辰为直角,有辛角黄道赤经 角。以甲戊弧京师赤道距天顶三十九度五十五分,内减辛戊正午黄赤距度,得甲辛弧二十五度五十五分二十秒,为本时正午黄道距天顶度,求得辛辰弧九度零五十三秒,为黄平象限距午西之黄道度。与辛点正午黄道经度相减,得辰点七宫十三度三十七分十七秒,即本时黄平象限之经度,幷求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒,为黄平象限距天顶之度。与甲卯象限相减,得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒,为本时黄平象限距地平之高度,即当辰寅卯角之度也。
求距限差
距限差者,乃月距黄平象限之差度也。盖旧法月距限以九十度为率,因黄道丽天,其向随时不同,而出于地平之上者,恆为半周,其適中之点,距地平东西皆九十度。故以九十度之限,以察月在地平之上下,若月距限逾九十度者,为在地平下,遂不入算,然此以黄道为立算之端也。顾白道与黄道斜 ,月行白道,不无距黄道南北之纬度。纬南者早入迟出,月当地平时,其距黄平象限不及九十度;纬北者早出迟入,月当地平时,其距黄平象限已过九十度;是则九十度之率未足为据也。于是立法以求其差,犹五星伏见距 限度有距 加减差之义也。其法以限距地平之高及月距黄道之纬,依正弧三角形法求之。盖黄道之势,随天左旋,其升降正斜,时时不同。正升正降者,京师限距地高至七十三度馀,高度大,则月纬所当之距限差转小;斜升斜降者,京师限距地高只二十六度馀,高度小,则月纬所当之距限差转大。若值月纬最大,其差可至十度有奇,此距限差之不可不立也。故依京师黄平象限距地平高度,逐度求其太 黄道实纬度所当距限差以立表。
设京师限距地平高度三十四度,太 距黄道实纬度南北各五度,求距限差。如图甲为天顶,乙丙为地平,丁为黄极,甲丁乙丙为黄道经圈,戊己庚为黄道, 地平于己点,其戊点即黄平象限。戊丙为限距地高三十四度,与甲丁黄极距天顶之度等,而当戊己丙角与乙己庚角为对角,其度亦等。如月恰在正 或中 ,合于黄道之己点,正当地平,则戊己为月距限九十度,若过九十度,自必在地平之下。今设月在黄道南五度,则辛壬癸为黄道距等圈,月在地平时为壬点,当于黄道之卯,其戊卯月距限乃不及九十度。又设月距黄道北五度,则子丑寅为黄道距等圈,月在地平时为丑点,当于黄道之辰,其戊辰月距限乃已过九十度,故必求其差数以加减之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧,此形有卯直角,有己角,当限距地高,有卯壬弧月距黄道纬度。乃以己角之正切为一率,半径为二率,卯壬弧之正切为三率,求得四率,为距限差度之正弦,检表得七度四十二分,即己卯弧为所求之距限差,而与己辰弧之度分等,盖己辰丑正弧三角形与己卯壬形同用己角,而辰丑弧月距黄道纬度,亦与卯壬等是两正弧形为相等形,故所得之己卯弧必与己辰弧相等无疑矣。既得己卯距限差,与戊己九十度相减,得八十二度十八分,即戊卯距限,而与距等圈辛壬之度相应,为月在纬南之地平限度。以己辰距限差与戊己九十度相加,得九十七度四十二分,即戊辰距限,而与距等圈子丑之度相应,为月在纬北之地平限度也。
一率己角正切
二率半径
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
图形尚无资料
求黄经高弧 角及月距天顶
旧法推 食三差,原以黄平象限为本。自考成前编谓三差幷生于太 ,而太 之经纬度为白道经纬度,用白道较之用黄道为密,故求三差则按月距白平象限之度,以白道高弧 角及太 高弧为据。后编变通其法,乃以白经高弧 角及 距天顶以求三差,而求白经高弧 角,系赤经高弧 角加减赤白二经 角而得,幷不求月距白平象限之度,是法较前颇为省算。今推视差者,乃求其星月黄道同经之视距视时,故三差应由黄平象限而定也。是则其法原可仿于后编不求黄平象限而竟求黄经高弧 角之术,即黄道高弧 角之馀度。然非月距黄平象限度与地平限度相较,其月在地平之上下无由可知。故今求 角,乃先求得月距黄平象限之东西、黄平象限去地之高下、太 距黄极之远近,然后按后编用斜弧形求赤经高弧 角 距天顶之法,则黄经高弧 角及月距天顶之度可得矣。
设星、月黄道经度同为申宫二十六度二十二分十一秒,月距正 前四十三度四十八分五十六秒,黄白 角五度四分一十秒,黄平象限七宫十三度三十七分十七秒,限距地高六十五度三十五分三十六秒,求太 实纬黄经高弧 角月距天顶。如图甲为天顶,甲乙丙丁为子午圈,丙丁为地平,乙为北极,戊己庚为赤道,戊为午正,己为酉正,庚为子正,卯为黄极,辛壬癸子为黄道,壬为 分,癸为夏至,午为黄道 地平之点。午未弧为九十度,其未点即黄平象限,宫度为七宫十三度三十七分十七秒。未辰弧当午角为六十五度三十五分三十六秒,即限距地高度,而与甲卯黄极距天顶之度等。巳寅丑为白道,寅为正 ,寅角为黄白 角五度四分一十秒,申为太 当黄道于酉,申寅为月距正 前白道度四十三度四十八分五十六秒,申酉为月距黄道纬度,其酉点为星月所当之黄道经度五宫二十六度二十二分十一秒,与未点黄平象限宫度相减,得未酉弧四十七度十五分六秒,为月距黄平象限西之度。乃当未卯酉角,甲申戌为高弧,卯申甲角为黄经高弧 角,甲申为月距天顶。求法,先用寅酉申正弧三角形,此形酉为直角,有寅角黄白 角,有寅申弧月距正 前白道度,求得申酉弧三度三十分二十七秒,即太 距黄道南实纬度。与卯酉象限相加,得卯申弧九十三度三十分二十七秒,为月距黄极。次用甲卯申斜弧三角形,此形有甲卯边黄极距天顶,有申卯边月距黄极,有申卯甲角当酉未弧月距限度为所夹之角,求申角及甲申边。乃自天顶作甲亥垂弧,分为甲亥卯、甲亥申两正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形,此形亥为直角,有卯角,有甲卯边,求得卯亥弧五十六度十四分十五秒,为距极分边。与申卯弧月距黄极相减,得申亥弧三十七度十六分十二秒,为距月分边。次用甲亥申正弧三角形,此形亥为直角,有申亥边,兼甲亥卯正弧三角形之亥卯边及卯角。用合率比例法,求得申角五十六度二分五十一秒,即黄经高弧 角。仍以甲卯申斜弧形,用对边对角法,求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒,即月距天顶之度也。
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求太 距星及凌犯视时
太 距地平上之高弧,自地心立算者为实高,在地面所见者为视高,其相差之分,即地半径差也。月当地平时,距天顶为九十度,其相差之数最大,而角之正弦即当地之半径。迨月上升,则距地渐高,距地愈高,则差数愈小,其所差之分,皆与本时月距天顶之正弦相应,故用比例法而得本时高下差也。夫高下既差,则有视经、视纬之别。其视经、实经之差者,东西差也;视纬、实纬之差者,南北差也。今求三差,乃依后编 食求三差法用直线三角形算之。然后编三差图乃写浑于平,今则用以浑测浑之图,求其三差,其所得之南北差,与本时太 实纬之度相较,而得视纬。得以视纬与星纬相较,观其纬之南北而定相距之上下也。其所得之东西差,与一小时之太 实行为比例,而得用时距视时之距分。辨其月距限之东西加减凌犯用时,而得凌犯之视时也。
前求得道光十二年壬辰三月初六 癸丑,月距司怪第四星凌犯用时戌正二刻八分十九秒,黄经高弧 角五十六度二分五十一秒,月距天顶五十三度四十三分二十四秒,本 太 最大地半径差六十分七秒,太 黄道实纬度南三度三十分二十七秒,司怪第四星黄道纬度南三度十一分四十四秒,一小时太 实行三十六分三十三秒,求星月相距分秒凌犯视时。如图甲为天顶,甲未辰巳为黄道经圈,辰午巳为地平,卯为黄极,未午辛为黄道,未点即黄平象限宫度,未辰弧即限距地高,与卯甲黄极距天顶之度等。申点为太 ,子点为司怪第四星,同当黄道于酉。其酉点即月与星之黄道经度,酉未弧即月距限西之度,子酉为星距黄道南纬度三度十一分四十四秒,申酉为太 距黄道南实纬度三度三十分二十七秒,申卯弧即月距黄极,甲申戌为高弧,申甲为月距天顶度五十三度四十三分二十四秒,卯申甲角为黄经高弧 角五十六度二分五十一秒,而与戌申亥角为对角,其度等。此皆自地心立算之实度也。然人居地面高于地心,故视高常低于实高,而月当地平时,其地半径差为最大,今乃六十分七秒。于是依后编求本时高下差之法,以半径与甲申弧正弦之比同于最大地半径差与本时高下差之比,得本时高下差四十八分二十八秒。如申火之分,其火点即太 之视高,自火点与黄道平行,作火木线,遂成申木火直角三角形。因弧度甚小,乃作直线算,与后编求 食三差之理同。此形木为直角,有申角黄经高弧 角,有申火边本时高下差,求得木火边四十分十二秒为东西差,求得申木边二十七分四秒为南北差,加于申酉太 实纬,得木酉太 视纬三度五十七分三十一秒。内减子酉星纬,得子木弧四十五分四十七秒,为人目仰视太 距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同当酉点之经度,固为相距。今太 视高在火,其视纬虽差至木,而距星之子点尚在一度内,其火点当黄道之视经度则差至土,是用时时星经度虽在酉,而太 视经度之土点乃在其西,是为未及。然土酉之分与火木等,故以一小时太 实行与火木东西差为比例,得距分一时六分,为月行火木之时分。加于月视高临火点之用时,得亥初二刻十四分十九秒,即人目视太 临于木点与星,同当酉点经度之视时也。
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求视时月距限
视时月距限,必大于用时月距限,因其视经差所当之距分既有加减,则太 与星随天西移自有进退也。盖太 以地半径差由高而变下,则视经之差于实经、视纬之差于实纬必矣。兹据黄平象限在天顶南之地面而言之,视纬恆差而南,如实纬北者,视纬常小于实纬,其差为减;实纬南者,视纬常大于实纬,其差为加。故纬南之星、月实距虽在一度内,而视距转在一度外者有之;纬北之星、月实距虽在一度外,而视距转在一度内者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限,故不取用。至若视经之差,所当月行距分之最大者或至二小时,而二小时之际,诸曜随天左旋,几至一宫,故视经之差,关于月行之进退矣。如月在黄平象限西者,视经度差之而西,视时必迟于用时;月在黄平象限东者,视经度差之而东,视时必早于用时。以致用时星、月未入地平,而视时星、月已入地平者有之,或用时星、月已出地平,而视时星、月未出地平者有之。是故于求用时之后,即以月距黄平象限与地平限度相较,可知斯时月在地平之上下。月距限小于地平限度者,为月在地平上;大于地平限度者,为月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者,用时星、月必在地平上,视时星、月或在地平下,其所差者,即视经之差当月行距分之诸曜左旋度。今取最小实经、视经之差所当左旋之度为视经差,法见下卷求地平限度节下。减于地平限度,所得视地平限度,而与月距限度考之。如月距限小于地平限度而大于视地平限度者,则为用时月虽在地平上,视时月必在地平下矣;既知月必在地平下,故遇此者去之。如月距限小于视地平限度者,则为视时月在地平之上。夫犹有不然者,以视经差所取皆最小之数也。若知月行实迹非由视时,再推月距限度,则其时月果在地平之上下,未可得其确准。故今于既得视时之后,必详察太 实纬及用时月距限度。如实纬南月距限过六十度,或实纬北月距限过七十度者,用时月距限在此限度内者,视时月必在地平之上。皆以视时复求月距黄平象限之度。如其度大于地平限度者,乃视时月在地平之下,仍不取用。必其度小于地平限度,始为视时月必在地平之上,而可证诸实测。此视差之所以必逐细详推,然后可得而取用也。
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